Question

若sinA+sinB=sinC(cosA+cosB),试判断三角形ABC的形状是什么形状是什么

第一行到第二行右边看不懂：为什么sinA+sinB=2sinA+B/2cosA+B/2/2cosA+B/2cosA-B/2

Answer 1

本人将过程叙述得详细些，估计你就能够看明白了。
∵sinA＋sinB＝sinC（cosA＋cosB），······①
∴（cosA＋cosB）不为0，否则就有sinA＋sinB＝0，得：sinC＝0。
而在△ABC中，sinC＞0。
①的两边同除以（cosA＋cosB），得：sinC＝（sinA＋sinB）/（cosA＋cosB）。

在△ABC中，有：C＝180°－（A＋B），
∴sin［180°－（A＋B）］＝（sinA＋sinB）/（cosA＋cosB）。······②
∵sinA＋sinB＝2sin［（A＋B）/2］cos［（A－B）/2］,
　cosA＋cosB＝2cos［（A＋B）/2］cos［（A－B）/2］，
∴（sinA＋sinB）/（cosA＋cosB）＝sin［（A＋B）/2］/cos［（A＋B）/2］，
∴②可变成：sin（A＋B）＝sin［（A＋B）/2］/cos［（A＋B）/2］，
∴2sin［（A＋B）/2］cos［（A＋B）/2］＝sin［（A＋B）/2］/cos［（A＋B）/2］。······③

显然有：sin［（A＋B）/2］＝sin［（180°－C）/2］＝cos（C/2）＞0。
∴③两边同除以sin［（A＋B）/2］，得：2cos［（A＋B）/2］＝1/cos［（A＋B）/2］，
∴｛cos［（A＋B）/2］｝^2＝1/2，∴｛cos［（180°－C）/2］｝^2＝1/2，
∴［sin（C/2）］^2＝1/2。

在△ABC中，有：sin（C/2）＞0，∴sin（C/2）＝1/√2，∴C/2＝45°，∴C＝90°。
∴△ABC是以AB为斜边的Rt△。

本题还可以用正弦定理和余弦定理结合起来证明，具体如下：
∵sinA＋sinB＝sinC（cosA＋cosB），
∴a/（2R）＋b/（2R）＝［c/（2R）］（cosA＋cosB），
∴a＋b＝c（cosA＋cosB），
∴2ab（a＋b）＝a（2bccosA）＋b（2accosB），
∴2ab（a＋b）＝a（b^2＋c^2－a^2）＋b（a^2＋c^2－b^2），
∴2ab（a＋b）＝ab（a＋b）＋c^2（a＋b）－（a^3＋b^3），
∴ab（a＋b）＝c^2（a＋b）－（a＋b）（a^2－ab＋b^2）。
显然有：（a＋b）不为0，∴ab＝c^2－（a^2－ab＋b^2），∴a^2＋b^2＝c^2。
∴△ABC是以AB为斜边的Rt△。