Question

设函数fx=|x+2|+a|x-3|当a=1时,求函数y=fx的最小值并指出取得最小值时x的值若a≥1

设函数fx=|x+2|+a|x-3|
（1）当a=1时,求函数y=fx的最小值并指出取得最小值时x的值
（2）若a≥1，讨论关于x的方程fx=a的个数

Answer 1

解：
对f(x)=|x+2|+a|x-3|，该函数可看成是分段函数，分为三个部分：
x>=3时：f(x)=(x+2)+a(x-3) =(1+a)x+(2-3a);…………（1）
-2<x<3时，f(x)=(x+2)-a(x-3) =(1-a)x+(2+3a);…………（2）
x<=-2时：f(x)=-(x+2)-a(x-3) =-(1+a)x-(2-3a);…………（3）
（上述x的范围中等号的位置无所谓，因为函数是连续的）
于是：
1.a=1时有：

x>=3时：f(x)=2x-1，函数显然随x的增加而增加。故本段函数最小值为5，且此时x=3
-2<x<3时：f(x)=5，函数值为常数。故本段函数最小值为5，x在此范围内均可取得最小值
x<=-2时：f(x)=-2x+1，函数显然随x的增大而减小。故本段函数最小值为5，且此时x=-2

故，y=f(x)的最小值为5，取得最小值时x的范围为：x∈[-2,3]

2.我理解的可能是f(x)=a方程根的个数吧..这个同样分段考虑即可。
x>=3时：
f(x)=a可以化为方程：(1+a)x+(2-3a)=a，即：(1+a)x=(4a-2);
由于a>=1,故可以用除法进行计算。x=(4a-2)/(1+a);
对结果进行变形：x=[(4(1+a)-6)]/(1+a)=4-6/(1+a)，若要求根的值x>=3,则6/(1+a)<=1，即a>=5
故a>=5时，此范围内有一个根，方程成立，且a=5时x=3；
1=<a<5时，无根，方程成立；

-2<x<3时：
f(x)=a可以化为方程：(1-a)x+(2+3a)=a，即：(1-a)x=-2a-2
a=1时，0=4，为矛盾方程；
a>1时：x=(-2-2a)/(1-a)=[2(1-a)-4]/(1-a)=2-4/(1-a)
同理，若要求x<3，则4/(1-a)>-1,因为a>1,所以(1-a)<0，故不等式解为a>5;若要求x>-2，则4/(1-a)<4，故不等式的解为a>0；综上，本范围内有根的条件为a>5;
故a>5时，此范围内有一个根，方程成立；
1<a<=5时，无根，方程成立；
a=1时，存在矛盾方程。

x<=-2时：
f(x)=a可以化为方程：-(1+a)x-(2-3a)=a，即：-(1+a)x=2-2a
由于a>=1,x=(2a-2)/(1+a)=[2(1+a)-4]/(1+a)=2-4/(1+a);
若要求x<=-2，则4/(1+a)>=4，不等式的解为：a<=0。
故及范围内无根，方程均成立。

综上所述：
a>5时：方程共有2个根，分别位于x>=3和-2<x<3范围内。
a=5时：方程共有1个根，且根的值为x=3。
1<a<5时：方程无根。
a=1时存在矛盾方程，无根。