Question

高中数学等差数列题

对任意的m属于N+，将数列{an}an=9n-8中落入区间（9^m,9^2m)内的项的个数记为bm,求数列{bm}的前m项和Sm.

Answer 1

因为an数列是单调增数列，在数列an中有一个元素在(9^m,9^2m)此区间内，且这个元素是最小的，那么有An1>9^m即n1>9^(m-1)+8/9因为9^(m-1)是个正整数，所以n1能取到得最小值是9^(m-1)+1，同理，在数列an中有一个元素在(9^m,9^2m)此区间内，且这个元素是最大的，那么有An2<9^m即n2<9^(2m-1)+8/9因为9^(2m-1)是个正整数，所以n2能取到得最大值是9^(2m-1)，那么就有集合Bm=（n2的最大值-n1的最小值+1）=9^(2m-1)-[9^(m-1)+1]+1=9^(2m-1)-9^(m-1)
然后Sm=
(9^1 - 9^0） +
（9^3 - 9^1） +
（9^5 - 9^2) +
.. .. .. +
[9^(2m-1)-9^(m-1)] =
左列 右列
左列是首项为9，公比为9^2的等比数列，右列是首项为1，公比为9的等比数列
所以Sm={9*[1-（9^2)^m]}/(1-9^2)-1*(1-9^m)/(1-9)
化简得Sm=[9^(2m+1)-10*9^m+1]/80