Question

已知函数f(x)=a-2/2^x+1(a∈R)

(1)判断并证明函数的单调性；
（2）若函数为f(x)奇函数，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，若对任意的t∈R，不等式f(t^2+2)+f(t^2-tk)＞0恒成立，求实数k的取值范围。

Answer 1

您好！（1）减函数证明：任取x1，x2∈R，x1＜x2，△x=x2-x1＞0，f（x2）-f（x1）=(1-2^x2)/(1+2^x2)-(1-2^x1)/(1+2^x1)=2(2^x1-2^x2)/(1+2^x1)(1+2^x2)x1＜x2 , 0 ＜ 2^x1<2^x2, 2^x1-2^x2<0, (1+2^x1)(1+2^x2)>0f（x2）-f（x1）<0, f（x2）<f（x1）∴该函数在定义域R 上是减函数．
（2）您好！首先这个函数的定义域在x处肯定有意义所以，要满足是奇函数，那么根据奇函数的性质，得到f(0)=0f(0)=a-2/3=0a=2/3
（3）由f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0,得f（t2-2t）＜-f（2t2-k），
由（1）知，f（x） 是减函数 ∴原问题转化为t2-2t＞k-2t2，即3t2-2t-k＞0 对任意t∈R 恒成立，∴△=4+12k＜0，得k＜-1/3
祝楼主学习进步！