Question

如图，⊙O和⊙O'相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．证明：

证明：

I、AC•BD=AD•AB；

II、AC=AE．

其中∠CAB=∠ADB，∠ACB=∠DAB是怎么得来的？

Answer 1

∠CAB=∠ADB, ∠ACB=∠DAB都是根据弦切角定理.
然后得到△ABC ∽ △DBA (AA).
则AC:DA = AB:DB, 即AC·BD = AD·AB.
另外∠ABC = ∠DBA = 180°-∠EBA.
弦AE与AC所对的圆周角互补, 可得AE = AC.

追问

请问“∠CAB=∠ADB, ∠ACB=∠DAB都是根据弦切角定理.”
可不可以讲细一点，O(∩_∩)O谢谢！

追答

先看⊙O'.
∠CAB是⊙O'的切线CA与弦AB的夹角, 即所谓弦切角.
弦切角定理说: 弦切角等于其所夹弧所对的圆周角.
而∠ADB就是∠CAB在⊙O'上所夹的弧AB所对的一个圆周角.
因此∠CAB = ∠ADB.

完全对称的, 在⊙O中可以得到∠ACB=∠DAB.
你可以先自己试试看.