Question

一道数学题，题目没有错

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，且PA垂直于面ABCD
(2)过直线BD且垂直于直线PC的平面交PC于点E,如果三棱锥E-BCD的体积取到最大值，求此时四棱锥P-ABCD的高。

答案是说设PA=x，三棱椎E-BCD为定值，求得它的高h=x/（x^2+2），我想知道这个等式怎么得来的，

Answer 1

我可以给你解释这个公式是怎么来的，但我感觉这么解没啥好处，可能是我思路的问题，你辩证性地吸取吧
其实就是一个体积为定值的换高公式的应用，这个h指的是三棱锥过E点作垂直于面ABCD的高，那么可以得到三棱锥的体积为1/3*h*Sbcd（Sbcd表示三角形BCD的面积，下同）=1/3*h. 易知CE垂直于BED.故三棱锥的体积也可以表示为1/3*Lce*Sbed(Lce表示CE的长)。设BD和AC交于点O,则有三角形CEO相似于三角形CAP。PA=x，正方形边长已知，CE和EO的长都可以用x推导出来，代入第二个求体积公式可以得到1/6*[x/(x^2+2)]=1/6*h,所以h=x/(x^2+2).
我所说的没啥好处是因为在代入第二个求体积公式的时候，三棱锥的体积V已经可以用x表示出来了，V=1/6（x/(x^2+2)）,所求的就是x为何值时V有最大值的问题，我感觉不需要去进行换高多此一举的求那个让人莫名其妙的h，显然x=1时V最大。不知道你看明白没有