复变函数，是指以复数作为自变量和因变量的函数[1] ，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。
复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。
复变数复值函数的简称。设A是一个复数集，如果对A中的任一复数z，通过一个确定的规则有一个或若干个复数w与之对应，就说在复数集A上定义了一个复变函数，记为
w=ƒ(z)
这个记号表示，ƒ(z)是z通过规则ƒ而确定的复数。如果记z=x+iy,w=u+iv，那么复变函数w=ƒ(z)可分解为w=u(x,y)+iv(x,y)；所以一个复变函数w=ƒ(z)就对应着一对两个实变数的实值函数。除非有特殊的说明，函数一般指单值函数，即对A中的每一z，有且仅有一个w与之对应。例如，f(z)=
是复平面上的复变函数。但f(z)=
在复平面上并非单值，而是多值函数。对这种多值函数要有特殊的处理方法（见解析开拓、黎曼曲面）。
对于z∈A,(z)的全体所成的数集称为A关于的像，记为(A)。函数规定了A与(A)之间的一个映射。例如在w=z2的映射下，z平面上的射线argz=θ与w平面上的射线argw=2θ对应；如果(A)∈A*，称把A映入A*。如果(A)=A*，则称把A映成A*，此时称A为A*的原像。对于把A映成A*的映射，如果z1与z2相异必导致(z1)与(z2)也相异，则称是一对一的。在一对一的映射下，对A*上的任一w，A上必有一个z与之对应，称此映射为的反函数，记为
z=ƒ-1(w)
设(z)是A上的复变函数，α是A中一点。如果对任一正数ε，都有正数δ，当z∈A且|z-α|<δ时，|(z)-(α)|<ε恒成立，则称(z)在α处是连续的，如果在A上处处连续，则称为A上的连续函数或连续映射。设是紧集A上的连续函数，则对任一正数ε，必存在不依赖自变数z的正数δ，当z1，z2∈A且|z1-z2<δ时|(z1)-(z2)|<ε恒成立。这个性质称为(z)在A上的一致连续性或均匀连续性。
设(z)是平面开集D内的复变函数。对于z∈D，如果极限存在且有限，则称(z)在z处是可导的，此极限值称为(z)在z处的导数，记为'(z)。这是实变函数导数概念的推广，但复变函数导数的存在却蕴含着丰富的内容。这是因为z+h是z的二维邻域内的任意一点，极限的存在条件比起一维的实数情形要强得多。一个复变函数如在z的某一邻域内处处有导数，则该函数必在z处有高阶导数，而且可以展成一个收敛的幂级数（见解析函数）。所以复变函数导数的存在，对函数本身的结构有重大影响，而这些结果的研究，构成了一门学科──复变函数论。
希望我能帮助你解疑释惑。
