Question

高中数学复数问题，求大神给过程，第二问？

Answer 1

替换theta为A（输入法不好打）
z=cosA-sinA+√2+i(sinA+cosA)
主要考察的其实还是三角函数，跟复数关系还真不大，由于实部和虚部都是三角函数，求极值先化简
（1）
z=√2(cosAcos(pi/4)-sinAsin(pi/4))+√2+√2i(sinAcos(pi/4))+cosAsin(pi/4))
所以
z=√2cos(A+pi/4)+√2+√2isin(A+pi/4)
再化简
|z|
=√((√2cos(A+pi/4)+√2)²+(√2sin(A+pi/4))²)

=√(2cos²(A+pi/4)+4cos(A+pi/4)+2+2sin²(A+pi/4))
=2√(1+cos(A+pi/4))
因此，当A+pi/4=2kpi时，|Z|可以取得最大值2√2，即A=（2k-1/4）pi时，k是整数

（2）

令实部√2cos(A+pi/4)+√2=0
即cos(A+pi/4)=-1
则A+pi/4=(2k+1)pi
A=(2k+3/4)pi，k是整数
在pi到2pi范围内，没有符合条件A值的，因此可以直接计算

argz=arctan(√2sin(A+pi/4)/(√2cos(A+pi/4)+√2))
√2sin(A+pi/4)/(√2cos(A+pi/4)+√2)
=2sin(A/2+pi/8)cos(A/2+pi/8)/2cos²(A/2+pi/8)
=sin(A/2+pi/8)/cos(A/2+pi/8)
=tan(A/2+pi/8)
所以argz=arctan(tan(A/2+pi/8)）=A/2+pi/8