Question

已知f1f2是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2（a>b>0）的左右焦点，A是椭圆位于第一象限的一点，点B也在椭圆上

已知f1f2是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2（a>b>0）的左右焦点，A是椭圆位于第一象限的一点，点B也在椭圆上，且满足向量OA+向量OB=向量O(O为坐标原点），向量AF2*向量F1F2=0，椭圆离心率=根号2/2
1.求直线AB的方程
2.若ABF2的面积=4根号2，求椭圆的方程
3.在2的条件下，椭圆上是否存在M使MAB的面积=8根号3?若存在，求出M的坐标

Answer 1

【仅供参考】
⒈ 由x²/a²+y²/b²=0（a>b>0）
e=1/√2
＝＝＞a²=2b²
∴x²/(2b²)+y²/b²=0
∵向量AF2*向量F1F2=0
∴A为(b，b/√2)
∵向量OA+向量OB=向量O
∴B为(-b，-b/√2)
∴直线AB：y=x/√2
⒉ ∵SΔABF2=|OF1|*(|AF1|+|BF2|)/2=4√2
∴b²=8
∴椭圆方程x²/16+y²/8=1
⒊ ∵|AB|=4√3
∴ M到AB距离d=2*(8√3)/(4√3)=4
设平行AB且过M的直线m：y=x/√2+n
联立 x²/16+y²/8=1
y=x/√2+n
得x²+√2nx+n²-8=0
∴Δ=2n²-4(n²-8)≥0＝＝＞-4≤n≤4
∵d=|n|/√(1/2+1)
∴|n|=2√6与|n|≤4矛盾
∴不存在点M满足题意