Question

高数问题

用“艾普西隆——X”语言证明函数极限的标准格式

Answer 1

首先，在这里我要着重先说明一下ε的含义，它是指一个很小的正数，由于我们之前的数学学习中，总是可以得到一个确定的数，所以我们证明或者计算起来就可以根据原理来计算，或者说是有的放矢，但是对于高数来说，很多概念是抽象的，比如ε，是一个很小的正数，但是我们并不知道它具体多大，实际上它是需要多小就有多小（ε是一个趋于0的正数），它是一个可以无限接近0的一个概念，是我们在无法表达一个很小的数时的方法，（比如我们没有办法把全世界的人类都一一点名，为什么，因为太多了，但是我们仍然可以表达这个群体，那就是“人类”，其实我们每个人都有名字，都是不同的个体，但是在这里我们只需要统一表达就可以了）

其次，在我们论证极限的时候，我们是假设存在这样的ε，使得「f（x）-b」＜ ε （其中的函数和极限值一般都是给出的）从中的到关于x的不等式，如果可以得到x的解，就说明极限存在，此时我们就会认定存在A使得「f（x）-b」＜ ε 成立，从而得到证明 如果得不到x的解，那就说明不存在极限

这个书上应该有定义：
例如函数f（x）在区间（a，+∞）的时有定义，b是常数，若存在任意的ε＞0（ε称为厄普斯隆，即非常小的正数）存在任意的A＞0,任意的x＞A，有
「f（x）-b」 ＜ ε （ 「」代表绝对值））
则称函数f（x）（当x→+∞时）存在极限或者收敛，极限是b
这样的定义还有几个，包括x趋于一点的的极限，在一点处的左右极限，还有x趋于负无穷大时的极限，以及x趋于无穷大时的极限