Question

已知圆C：（x-3)²+（y-4)²=4，直线l1过定点A（1,0）。 1.若l1与圆相切，求l1的方程；

2.若l1与圆相交于p、q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x+2y+2=0的交点为N，求证：|AM|*|AN|为定值

Answer 1

解：设直线L1的方程为：y=kx+b；
∵直线L1过A点（1,0）
∴0=k+b
∴b=-k
∴直线L1为：y=kx-k
又直线L1与圆C相切
∴(x-3)^2+(y-4)^2=4与y=kx-k有唯一解。
即：x^2-6x+9+(kx-k-4)^2=4
整理得：(k^2+1)x^2-2(b^2+4k+3)x+(k^2+8k+21)=0
∴△=b^2-4ac=0
即：[2(k^2+4k+3)]^2-4(k^2+1)(k^2+8k+21)=0
整理得：k=3/4
∴b=-k
=-3/4
∴L1的方程为：y=(3/4)(x-1)
第二问解的思路为：∵直线L1与圆C相交，因此可以分别得到关于x、y的两个一元二次方程，利用两根之和等于一次项的相反数，两根之积等于常数项，再利用(x2-x1)^2=(x2+x1)^2-4x2*x1求出M点坐标；再根据L1与L2相交求出N点坐标；利用两点间距离公式分别求出IAMI、IANI；计算IAM）*IAN）是否为常数？若是，则IAMI*IANI是定值。