Question

已知圆C:(x-3)²+（y-4)²=4直线l1过定点A（1,0） 1.若l1与圆小妾，求l1的方程；

2.若l1与圆相交于P、Q两点，线段PQ的中点为M ，又l1与l2:x+2y+2=0的交点为N，求证 ：|AM|*|AN|为定值

Answer 1

1、由题，圆心(3,4)到切线距离等于半径r=2
设l1的斜率为k
当斜率不存在时，l1的方程为x=1，满足圆心到切线距离等于半径
当斜率存在时，设l1的方程为y-0=k(x-1)，即kx-y-k=0
则圆心到直线l1的距离d＝|3k-4-k|/√(k²+1)=2
平方，得 k²-4k+4=k²+1
解得k=3/4
即，l1的方程为y＝3(x-1)/4
所以,l1的方程为x=1，或3x-4y-3=0

2、设直线l1的斜率为k，则
l1:y=k(x-1)
l2:x+2y+2=0
联立求出N点的坐标 N[(2k-2)/(2k+1)，(-3)k/(2k+1)]
设M点坐标为(x0，k(x0-1) )
由圆心c的坐标C(3，4)
可得CM所在直线斜率k(cm)＝[4-k(x0-1)]/(3-x0)
又CM⊥PQ，即，k×k(cm)=-1
所以，k×[4-k(x0-1)]/(3-x0)＝-1
解得x0=(k²+4k+3)/(k²+1)
所以，
|AM|²＝[(4k+2)/(k²+1)]²+[k(4k+2)/(k²+1)]²＝(4k+2)²/(k²+1)＝4(2k+1)²/(1+k²)
|AN|²＝[(-3)/(2k+1)]²+[(-3)k/(2k+1)]²＝9(1+k²)/(2k+1)²
所以，
|AM|²×|AN|²
＝[4(2k+1)²/(1+k²)]×[9(1+k²)/(2k+1)²]
＝36
即，|AM|×|AN|＝6
所以，|AM|×|AN|为定值6