Question

导函数问题。

已知函数f（x）=x^3/3+ax^2/2+bx在区间【-1.1)(1.3】内各有一个极值点（1）a^2-4b的最大值（2）当a^2-4b=8时，设函数y=f（x）在点A(1.f(1))处的切线为L,若L在点A处穿过函数y=f(x)的图像（即当动点在A附近沿曲线y=f(x)运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧）,求f(x)的表达式.

Answer 1

首先，先不看第一个条件，只看第二个，我们可以由题意求出f(x)的导数为x^2+ax+b,所以点（1,f(1)）处的切线斜率为1+a+b
接着，我们可以将f(x)在（1,f(1)）处的切线方程写出来，g(x)=f(1)+(1+a+b)(x-1)
根据题意，我们可以得到g(x)与f(x)的差在x＞1和x<1时异号
则可以写出函数F(x)=f(x)-[f(1)+(1+a+b)(x-1)]
将所有的f(x)表示出来，并进行整理，可得到
F(x)=(x-1)^2[(x+2)/3+a/2],这中间的整理比较复杂，需要仔细做
由于(x-1)^2在x≠1时总大于0，因此可得：
当x>1时，(x+2)/3+a/2＞0，当x<1,(x+2)/3+a/2<0
或当x<1时，(x+2)/3+a/2＞0，当x>1,(x+2)/3+a/2<0
不论是上述哪种情况，我们都可以得到当x=1时，(x+2)/3+a/2＝0
所以1+a/2=0
所以a=-2
由a^2-4b=8可得b=-1
则f(x)=x^3/3-x^2-x
此时，我们可以用第一个条件进行检验：
f(x)的导数可得为x^2-2x-1
当该方程为0时，可以得出原函数的两个极值点
此时，两个零点分别为1加根号2和1减根号2，符合条件1
因此，综上，可得f(x)=x^3/3-x^2-x
本题还可以用二阶导数求解，更简单。