Question

已知函数f(x)=alnx+x^2,(a为实常数），（1）当x∈[1,e]时，讨论方程f(x)=0的根的个数。（2）若a＞0，

且对任意的x1,x2∈[1,e]，都有绝对值（f(x1)-f(x2))≤绝对值（1\x1-1\x2)，求实数a的取值范围。

Answer 1

（1）函数f(x）的导函数为f/(x)=x分之（a+2x^2) 1: 当a>=-2时，f/(x）>0对x∈[1,e]恒成立，所以函数f(x)=alnx+x^2在[1,e]单调递增，此时f(x）的最小值为f(1)=1>0,此时方程f(x)=0的根的个数为0; 2:当-2*e^2<a<-2时，当1<x<根号下--2分之a时，f/(x）<0 当根号下--2分之a<x<e时，f/(x）>0 所以所以函数f(x)=alnx+x^2在[1，根号下--2分之a]单调递减，在[根号下--2分之a，e]单调递增，此时f(x）的最小值为f（根号下--2分之a）=--2分之a*[ln(--2分之a)+1] 注意到1<--2分之a<e^2 所以f（根号下--2分之a）>0 所以此时方程f(x)=0的根的个数为0 3：当a<=-2e^2时，f/(x）<0对x∈[1,e]恒成立 所以函数f(x)=alnx+x^2在[1,e]单调递减，此时f(x）的最小值为f（e) =e^2 +a<=--e^2<0 此时方程f(x)=0的根的个数为1 (2) 当a＞0，函数f(x）的导函数为f/(x)=x分之（a+2x^2)>0对x∈[1,e]恒成立 所以函数f(x)=alnx+x^2在[1,e]单调递增 不妨设x1<x2 绝对值（f(x1)-f(x2))≤绝对值（1\x1-1\x2)变为f(x2）+x2分之1<f(x1）+x1分之1 所以函数G（x)=f(x）+x分之1 在[1,e]单调递减,所以函数G/（x）=a+2x^2--x分之1<=0对x∈[1,e]恒成立 即a<=--2x^2+x分之1 x∈[1,e] 易知--2x^2+x分之1在[1,e]单调递减，所以a<=--2e^2+e分之1

追问

此时f(x）的最小值为f（根号下--2分之a）=--2分之a*[ln(--2分之a)+1] 注意到10 ，这一步不会算可以讲一下吗，谢谢

追答

11 ,所以f(x）的最小值为f（根号下--2分之a）=--2分之a*[ln(--2分之a)+1] >0 两个大于1的数相乘当然大于0了。

追问

可是把根号下--2分之a带进去之后，得到的算式前面为什么有负号呢

追答

我弄错了，不好意思，应该没有负号。 我再将 第2个分类讨论重新写了一下 2:当-2*e^20 所以所以函数f(x)=alnx+x^2在[1，根号下--2分之a]单调递减，在[根号下--2分之a，e]单调递增，此时f(x）的最小值为f（根号下--2分之a）=2分之a*[ln(--2分之a)+1] --e^21 此时f(x）的最小值为f（根号下--2分之a）<0 而f(e)=e^2+a 大于--e^2 而小于e^2--2 它与0的关系不定，需近一步讨论，当--2e^2<a<--e^2 时f(e)=e^2+a <0 此时方程f(x)=0的根的个数为1 --e^2 <=a<-2时 此时方程f(x)=0的根的个数为2