Question

如图，△ABC中，∠C=2∠b。AD是角平分线，求证：AB=AC+DC

Answer 1

延长AC至E，使CE=CD，则角E=角EDC，且角E+角EDC=角ACD，故角E=角ACD的一半，
又因为角B为角ACD的一半，故角E=角B，
又因为AD为平分线，所以角BAD=角DAE
而AD为公共边，故三角形ABD与AED全等（AAS）
故AB=AE=AC+CE=AC+CD

Answer 2

设∠B=a，则∠C=2a，∠A=180-∠B-∠C=180-3a
AD是角平分线
∠BAD=∠DAC=∠A/2=90-3a/2
∠ADC=180-∠DAC-∠C=180-(90-3a/2)-2a=90-a/2
AC/sinB=AB/sinC
AC=ABsinB/sinC=ABsina/sin2a=ABsina/(2sinacosa)=AB/(2cosa)
AC/sin∠ADC=DC/sin∠DAC
DC=ACsin∠DAC/sin∠ADC=ACsin(90-3a/2)/sin(90-a/2)
=AB/(2cosa)*cos(3a/2)/cos(a/2)
AC+DC=AB/(2cosa)+AB/(2cosa)*cos(3a/2)/cos(a/2)
=AB(1+cos(3a/2)/cos(a/2))/(2cosa)
=AB(1+(4cos(a/2)^3-3cos(a/2))/cos(a/2))/(2cosa)
=AB(1+4cos(a/2)^2-3)/(2cosa)
=AB(4cos(a/2)^2-2)/(2cosa)
=AB(2cos(a/2)^2-1)/cosa
=ABcosa/cosa
=AB
证毕

Answer 3

延长AC，至F，使CF=DC，连接DF
∵△CDF是等腰三角形
∴∠CDF=∠CFD
∴2∠CFD=∠ACD
∵2∠B=∠C
∴∠B=∠CFD
∵∠BAD=∠DAC,AD为共边
∴△ABD≌△ADF
∴AB=AF
∴AB=AC﹢DC