Question

设函数f(x)=√3sinxcosx-cos²x

1.求函数f(x)的单调递增区间
2.当x∈[0,π/2]时，求函数f(x)的最大值和最小值

Answer 1

1 f(x)= 2分之根号3 * sin2x -2分之cosx -2分之1 =sin(2x-6分之π）-2分之1 令 ）-2分之π+ 2kπ <2x-6分之π<2分之π+ 2kπ k属于z 得 -6分之π+ kπ < x<3分之π+ kπ k属于z 故函数f(x)的单调递增区间为【 -6分之π+ kπ ,3分之π+ kπ 】k属于z （2）当x∈[0,π/2]时， 2x-6分之π∈[--π/6,5π/6] 当 2x-6分之π =--π/6时，函数f(x)的最小值为--1 当2x-6分之π =π/2时，函数f(x)的最大值为2分之1

Answer 2

首先对函数f(x)进行求导得到f'(x)=√3cos²x-√3sin²x+2cosxsinx，令导数f'(x)=0,求出√3cosx=sinx，或cosx=-√3sinx
因此，tanx=√3或tanx=-1/√3,那么x=kπ+π/3或x=kπ-π/6，即此时原函数取得极值。
对f'(x)>0为单调递增区间，所以f(x)的单调递增区间为kπ-π/6<x<kπ+π/3
那么，当x∈[0,π/2]时，属于单调递增区间内，所以最小值应在π/2处取得，即f(π/2)=0，最大值应在π/3处取得，即f(π/3)=1/2