Question

已知抛物线C:y^2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1 设AB为抛物线上两点 且AB 不与x轴垂直

若线段AB 的垂直平分线恰好过M(4 0 ) 求三角形MAB面积的最大值

Answer 1

任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1
得p/2=1
p=2
抛物线C:y^2=4x,F(1,0)
设抛物线y^2=4x的两点A(x1 ,y1) B(x2,y2),
线段AB的垂直平分线恰过点M
再根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等得
(4-x1)^2 +(y1)^2 =(4-x2)^2 +(y2)^2
由题知(y1)^2 =4x1 (y2)^2=4x2
代入并展开得
16+(x1)^2 -8x1 +4x1=(x2)^2 -8x2 +16 +4x2
即(x1)^2 -(x2)^2 =4x1-4x2

即(x1-x2)(x1+x2)=4(x1-x2)
AB 不与x轴垂直
得到 x1+x2=4
线段AB中点的横坐标为(x1+x2)/2=2
(y1)^2 +(y2)^2=4(x1+x2)=16

追问

不怎么懂

追答

这只能得出AB中点的横坐标为定值2，请指出题目出处。