Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F。

（1）求PE+PF的值是多少？ （2）若P是AD上一动点，其他条件不变 则PE+PF的值将会如何变化？若变化请说明理由（3）你能得到什么？
我初二上，别用那个什么相似三角形，可以用全等。
拜托过程详细点~~~~~~~~~~~

Answer 1

解：设AP=x，PD=4-x，由勾股定理，得AC=BD=32+42=5，
∵∠PAE=∠CAD，∠AEP=∠ADC=90°，
∴Rt△AEP∽Rt△ADC；
∴APAC=PEDC，
即x5=PE3---（1）．
同理可得Rt△DFP∽Rt△DAB，
∴4-x5=PF3---（2）．
故（1）+（2）得45=PE+PF3，
∴PE+PF=125．
另解：
∵四边形ABCD为矩形，
∴△OAD为等腰三角形，
∴PE+PF等于△OAD腰OA上的高，即Rt△ADC斜边上的高，
∴PE+PF=3×45=125．