Question

如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,若AC=BD=a,EF=√2/2

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EF=√2/2a，∠BDC是直角。求证BE⊥平面ACD

Answer 1

在AB上取其中点，
设为P，连接PF，PE。
则PF‖AC，PE‖BD，
且PE=a／2，PF=a／2
所以PEx2+PFx2=EFx2
所以PF⊥PE
所以AC⊥BD
又因为∠BDC=90°即CD⊥BD
且AC∩ CD=C AC.CD在平面ACD内
所以BD⊥平面ACD

追问

BE垂直平面ACD

追答

欲证BD⊥平面ACD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BD与平面ACD内两相交直线垂直，取CD的中点G，连接EG，FG，根据勾股定理可证得EG⊥FG，又BD⊥CD，AC∩CD=C，结论得证．则只能证明BD⊥平面ACD，您看一看是不是题目有误？
取CD的中点G，连接EG，FG，
∵E，F分别为AD，BC的中点，
∴EG平行垂直于1/2AC
FG平行垂直于1/2BD，
又AC=BD，∴FG=1/2AC，
∴在△EFG中，
EG2+FG2=1/2AC2=EF2
∴EG⊥FG，
∴BD⊥AC，又∠BDC=90°，
即BD⊥CD，AC∩CD=C，
∴BD⊥平面ACD．
（∵BE与BD在同一平面内且不重合
∴BE不可能垂直于平面ACD）