Question

以△ABC的AB,AC为边向三角形外作等边△ABD,△ACE,连结CD,BE相交于点O。

①求证：OA平分∠DOE。
②点F在DO上，若DF=BO,连AF，求证：△AOF是等边三角形。

③求证：OA+OC=OE

Answer 1

（1）证明：连接CD,BE
因为三角形ABD是等边三角形
所以AD=AB
角BAD=角ABD=60度
因为三角形ACE是等边三角形
所以角CAE=角ACE=60度
AC=AE
因为角DAC=角BAD+角BAC=60+角BAC
角BAE=角BAC+角CAE=60+角BAC
所以角DAC=角BAE
所以三角形DAC和三角形BAE全等（SAS)
所以角ADC=角ABE
角ACD=角AEB
所以A,D,B,O四点共圆
A,O,C,E四点共圆
所以角AOD=角ABD=60度
角AOE=角ACE=60度
所以角AOD=角AOE=60度
所以OA平分角DOE
(2)证明：连接AF
因为角ADC=角ABE(已证）
因为AD=AB
DF=OB
所以三角形AFD和三角形AOB全等（SAS)
所以AF=AO
因为角AOD=60度
所以三角形AOF是等边三角形
（3）证明：在OE上截取EM=OC，连接AM
因为角AEB=角ACD（已证）
AE=AC
所以三角形AEM和三角形ACO全等（SAS)
所以AO=AM
因为角AOE=60度（已证）
所以三角形AOM是等边三角形
所以OA=OM
因为OE=OM+EM
所以OA+OC=OE

追问

最好把那些汉字改成符号，我就将其选为满意回答。(如：三角形-△ 因为-∵ 所以-∴ 全等-≌)

Answer 2

证明：①作AM⊥CD于M，作AN⊥BE于N .∵等边三角形∴AD=AB,AC=AE ,∠DAB=∠CAE=60°

∴∠DAC=∠BAE∴⊿DAC≌⊿BAE∴S⊿DAC=S⊿BAE, DC=BE∴高AM＝AN

∴OA平分∠DOE

②∵⊿DAC≌⊿BAE∴∠ADF=∠ABO∵DA=BA, DF=BO∴⊿ADF≌⊿ABO∴AF=AO,∠DAF=∠BAO

∵∠DAF+∠FAB=∠DAB=60°∴∠BAO+∠FAB=∠FAO=60°∴△AOF是等边三角形。

③类似②在EO上取点G，使EG=CO。连接AG。则可证明AO=AG, ∠GAO=60°

⊿GAO是等边三角形∴OG=AO∵OG+EG=OE

∴AO+OC=OE