Question

已知函数的极限值，求参数a、b的值

第十题两问🙏

Answer 1

(10)
(1)
lim(x->∞) [3x- √(ax^2+bx+1) ]=2
lim(x->∞) [9x^2- (ax^2+bx+1) ]/[3x+ √(ax^2+bx+1) ] =2
lim(x->∞) [(9-a)x^2- bx-1 ] /[3x+ √(ax^2+bx+1) ] =2
9-a =0
a=9
lim(x->∞) [(9-a)x^2- bx-1 ] /[3x+ √(ax^2+bx+1) ] =2
lim(x->∞) (-bx-1 ) /[3x+ √(9x^2+bx+1) ] ]=2
分子分母同时除以x
lim(x->∞) (-b-1/x ) /[3+ √(9+b/x+1/x^2) ]=2
-b/( 3+3) =2
b=-12
(a,b)=(9,-12)
(2)
lim(x->1) (x^2+ax+b)/(x-1) =5 (0/0)

1^2+a(1) +b=0
a+b=-1 (1)
lim(x->1) (x^2+ax+b)/(x-1) =5 (0/0 分子分母分别求导)
lim(x->1) (2x+a) =5
2+a =5
a=3
from (1)
a+b=-1
3+b=-1
b=-4
(a,b)=(3,-4)

追问

老师第二问分子为啥得0呢，还有为啥用求导方式解呀👀…

追答

极限的值=5 ≠0
分母->0，分子一定要->0， 否则极限（=0 或者不存在)
知道 0/0 的形式， 用洛必达

追问

哈哈哈好吧文科生刚上大一没学过洛必达…谢谢老师啦

追答

a+b=-1 (1)
b= -(1+a)
lim(x->1) (x^2+ax+b)/(x-1) =5
lim(x->1) (x^2+ax-(1+a) )/(x-1) =5
lim(x->1) (x+(1+a))(x-1)/(x-1) =5
lim(x->1) (x+(1+a))=5
2+a =5
a=3
from (1)
a+b =-1
3+b=-1
b=-4

Answer 2

分子有理化
(x-1)是分子的一个因式