Question

求级数收敛性

Answer 1

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追问

没加绝对值为什么说是绝对收敛哦？

追答

1、绝对收敛不是指有没有绝对值符号；
2、级数中有正负交错的情况是，将所有项的负号去掉，
然后比较去掉负号后的级数，也就是变成了全部都是
正值的级数，如果这个级数收敛，就叫绝对收敛；
3、上式中的余弦有平方，而n跟2^n都是正数，加不加绝
对值符号，都没有关系。

追问

可是答案是收敛哦~~~

追答

没有实质差别。
1、绝对收敛属于收敛；
2、收敛有绝对收敛跟条件收敛两种；
3、如果正负交错级数，去掉负号，全变成正号时也收敛，就是绝对收敛；
4、如果正负交错级数，去掉负号，全变成正号时不收敛，而正负交错时收敛，
就是条件收敛；
5、所有正项级数，如果收敛，就是绝对收敛；如果又有正负交替，那收敛得更快；
6、你书上的答案没有错。因为这个级数是正项级数，它收敛自然是绝对收敛。
如果没有区分得那么细时，说它收敛，是最简洁的说法。

不知明白了没有？

追问

好的，那这里cos什么的就不用管它了？
是不是碰到这种三角函数及反三角函数都不用管它了？

追答

这就是放大、缩小的运用了。

英文的Squeeze Theorem，我们翻译成夹挤定理。

它的运用原则是：

为了证明A小，可能无法直接证明，就把A放大到B，只要能证明B小，A自然就小；

为了证明A大，可能无法直接证明，就把A缩小到B，只要能证明B大，A自然就大。

上面的题，为了说明它收敛，把余弦放大到1，它仍然收敛的话，

原来没有放大之前，就更加收敛了。