变上限积分函数可以直接这样求导吗?为什么 50
变上限积分函数可以直接这样求导吗?为什么如图一,为什么不能直接把x代入被积函数?如果对图二函数求导结果是什么,请完整回答一下,谢谢!...
变上限积分函数可以直接这样求导吗?为什么如图一,为什么不能直接把x代入被积函数?如果对图二函数求导结果是什么,请完整回答一下,谢谢!
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2个回答
2018-12-13
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最常见的是变上限函数的积分,即∫f(t)dt(积分限a到x),根据映射的观点,每给一个x就积分出一个实数,因此这是关于x的一元函数,记为g(x)=∫f(t)dt(积分限a到x),注意积分变量用什么符号都不影响积分值,改用t是为了不与上限x混淆。
现在用导数定义求g'(x),根据定义,g'(x)=lim[∫f(t)dt-∫f(t)dt]/h(h趋于0,积分限前者为a到x+h,后者为a到x)=lim∫f(t)dt/h(积分限x到x+h,根据的是积分的区间可加性),根据积分中值定理,存在ξ属于(x,x+h),使得∫f(t)dt/h=f(ξ)h,又因为h趋于0时ξ是趋于x的,故极限=limf(ξ)h/h=f(x),至此证明了g'(x)=f(x)。
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