Question

高中概率题

若PA⊥平面ABCD,ABCD为菱形，在以四棱锥P-ABCD任意两个顶点为端点的所有线段中。随即选取2条，则所取得的两条线段互为异面垂直的线段的概率

求过程与说明

Answer 1

解：四棱锥P-ABCD任意两个顶点为端点的所有线段共有10条：PA、PB、PC、PD、AB、AC、AD、BC、BD、CD；
任取两条，共有10x9/2=45种取法；
因PA⊥平面ABCD，所PA垂直平面ABCD内所有直线，但与PA形成异面垂直的上面10条只有BC、BD、CD3条直线；
因ABCD为菱形，其对角线垂直，即BD⊥AC,且BD⊥AP,所以BD⊥平面PAC，由此得BD⊥PC,共1条
综上共4组，所以概率为p=4/45

Answer 2

解答如下：
以四棱锥P-ABCD任意两个顶点为端点的所有线段共有10条（C（5,2）=10）
随即选取2条共有45种选法（C（10,2）=45）
而所取得的两条线段互为异面垂直的线段，显然必有一条线段过P点，（若都不过P，肯定在ABCD平面内，不会异面。）
简单分析，可发现：
PA的异面垂直直线有3条：BC、BD、CD。
PB的异面垂直直线有1条：AD
PD的异面垂直直线有1条：AB
PC的异面垂直直线有1条：BD
那么就有6对异面垂直的直线，那么概率则为6/45=2/15