Question

在等边三角形ABC中,点D是AC的中点,F是BC的中点,以BD为边作等边三角形BDE,求证:AB=EF,且四边形AEBF为矩形

Answer 1

因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC=60°
因为D为AC中点，所以∠ADB=30°,且∠BDA=90°
又因为△BDE为等边三角形，所以∠EBA=∠EBD-∠ADB=60°-30°=30°=∠ABD， 且EB=BD，
又因为AB=AB，所以△ABE全等于△ABD，所以∠AEB=∠BDA=90°，
因为F为BC中点，所以AF⊥BC，
∠EBC = ∠ABC+∠EBD = 60°+30°=90°
所以EB⊥BC，又因为AF⊥BC，且AE⊥BE
所以四边形AEBF为矩形
矩形的对角线相等，所以AB=EF

Answer 2

∵ΔABC与ΔBDE都是等边三角形，∴BD=BD，BC=AC=AB，∠EBD=∠ABC=60°，
∵D、F分别为AC、BC的中点，∴BF=CD，BD⊥AC，∠CBD=30°，
∴∠EBF=90°=∠BDC，
∴ΔEBF≌ΔBDC(SAS)，
∴EF=BC=AB，∠EFB=∠C=60°，
∴EF∥AC，又EF=AB=AC，
∴四边形AEFC是平行四边形，
∴AE∥CF，AE=CF，
∴AE=BF，∴四边形AEBF也是平行四边形，
又AF⊥BC，
∴平行四边形AEBF是矩形。