Question

求解高中数学。

已知F(1,0),P是平面上一动点。P到直线L:X=-1上的射影为点N,且满足(向量PN+0.5·向量NF)·向量NF=0(1)求点p的轨迹C的方程。
(2)过点M(1,2),作曲线C的两条弦MD,ME,且MD,ME所在直线的斜率为k1,k2,满足k1,k2=1。
求证:直线DE过定点。并求出这个定点。

Answer 1

楼主你好
解：（1）设曲线C上任意一点P（x，y），又F（1，0），N（-1，y），从而向量PN
=(-1-x，0)，向量NF=(2，-y)

PN+1/2NF=(-x,-1/2y)，(PN+1/2NF)•NF=0⇒-2x+1/2y2=0
化简得y^2=4x，即为所求的P点的轨迹C的对应的方程．
（2）由题意可知直线DE的斜率存在且不为零，可设DE的方程为x=my+a
并设D（x1，y1），E（x2，y2）．联立：y2=4x x=my+a

代入整理得y^2-4my-4a=0从而有y1+y2=4m①，y1y2=-4a②

又k1k2=1⇒(y1-2)/(x1-1)乘以(y2-2)/(x2-1)=1 又y1^2=4x1，y2^2=4x2，
∴k1k2=1⇒(y1-2)/(y1^2/4-1)乘以(y2-2)/(y2^2/4-1)=1
展开即得y1y2+2（y1+y2）-12=0

将①②代入得-4a+2×4m-12=0，即a=2m-3，得，DE：x=my+2m-3，
即（x+3）=m（y+2），故直线DE经过（-3，-2）这个定点．

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Answer 2

解：（1）设曲线C上任意一点P（x，y），又F（1，0），N（-1，y），从而PN=(-1-x，0)，NF=(2，-y)，PN+
12NF=(-x，-
12y)，(
PN+
12NF)•
NF=0⇒-2x+
12y2=0
化简得y2=4x，即为所求的P点的轨迹C的对应的方程．
（2）由题意可知直线DE的斜率存在且不为零，可设DE的方程为x=my+a，
并设D（x1，y1），E（x2，y2）．联立：y2=4xx=my+a
代入整理得y2-4my-4a=0从而有y1+y2=4m①，y1y2=-4a②
又k1k2=1⇒
y1-2x1-1•
y2-2x2-1=1，又y12=4x1，y22=4x2，∴k1k2=1⇒
y1-2y214-1•
y2-2y224-1=1
Þ16(y1+2)(y2+2)=1Þ（y1+2）（y2+2）=16，展开即得y1y2+2（y1+y2）-12=0
将①②代入得-4a+2×4m-12=0，即a=2m-3，得，DE：x=my+2m-3，
即（x+3）=m（y+2），故直线DE经过（-3，-2）这个定点．