Question

f(x)=(x^4/12)-(mx^3/6)-(3x^2/2) 问: 若当实数m满足|m|≤2时,函数f(x)在(a,b)上总为"凸函数"，求b-

f(x)=(x^4/12)-(mx^3/6)-(3x^2/2)

问: 若当实数m满足|m|≤2时,函数f(x)在(a,b)上总为"凸函数"，求b-a的绝对值的最大值我算出来的答案是4,但正确答案是2.我是这样想的,取b-a的绝对值的最大值必是在凸函数与X轴交点之时.不知道这样哪里错了?
为什么不能这样想,就是取b-a的绝对值的最大值必是a和b就是凸函数与X轴的那两个焦点？这样的化也就是说a和b就是x^2-mx-3=0的两个根,a+b=m,ab=-3绝对值b-a=根号(a+b)^2-4ab，然后解得是4？

Answer 1

f(x)=(x^4/12)-(mx^3/6)-(3x^2/2)
f'(x)=1/3x³-m/2x²-3x
f''(x)=x²-mx-3
∵当实数m满足|m|≤2时,函数f(x)在(a,b)上总为"凸函数"
∴对于任意的|m|≤2，当x∈(a,b)时f''(x)<0恒成立
即g(m)=-xm+x²-3<对m∈[-2,2]恒成立
只 需g(-2)=2x+x²-3<0 ==>-3<x<1
g(2)=-2x+x²-3<0 ==>-1<x<3
∴ -1<x<1
即(a,b)是(-1,1)的子集
∴|b-a|的最大值为2

追问

为什么不能这样想,就是取b-a的绝对值的最大值必是a和b就是凸函数与X轴的那两个焦点？这样的化也就是说a和b就是x^2-mx-3=0的两个根,a+b=m,ab=-3绝对值b-a=根号(a+b)^2-4ab，然后解得是4？

追答

m是[-2,2]内的任意值
如m=-2时，得到一个f(x)的凸区间(-3,1)
m=0时，得到一个f(x)的凸区间(-√3,√3)
...............................................................
m=2时，得到一个f(x)的凸区间(-1,3)
应该找的是对任意m∈[-2,2]都成立的凸区间
即是这些凸区间的交集

你所求的只是这些凸区间中长度最长的(-1,3)和(-3,1)
即m=-2或m=2时，(a,b)长度才是2，并不是对所有m的