Question

高数 可降阶的高阶微分方程

Answer 1

1. 令y'=p
p'=1+p²
1/(1+p²)dp=dx
arctanp=x+c1
p=tan(x+c1)
dy/dx=tan(x+c1)
dy=tan(x+c1)dx
y=ln|sec(x+c1)|+c2

2. 令y'=p(y)
y''=p'(y)dy/dx
=p(y)dp/dy
代入，得
y³pdp/dy=1
pdp=y^(-3)dy
2pdp=2y^(-3)dy
p²=-1/y²+c1
y'²=-1/y²+c1
接着继续解。

Answer 2

第一题是y''=f(x,y')型的，令p=y'，则dp/dx=y''，所以dp/dx=1+p^2，分离变量得dp/(1+p^2)=dx，两边积分得arctanp=x+C1，p=dy/dx=tan(x+C1)，所以y=-In|cos(x+C1)|+C2
第二题是y''=f(y,y')型的，令p=y'，则y''=pdp/dy，所以y^3*pdp/dy=1，pdp=dy/y^3，两边积分得p^2=-1/y^2+C1，p=dy/dx=±根号(-1/y^2+C1)，dx=±dy/(-1/y^2+C1)^(1/2)=±ydy/(-1+y^2C1)^(1/2)，两边积分得x=±[(C1y^2-1)^(1/2)/C1]+C2