Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（3，0），（3，4）。

Answer 1

解：
（1）四边形OABC为矩形，OA=BC=3，OC=AB=4，NP⊥BC，所以NP平行AB，则△CPN与△CAB相似，有CN：CB=PN：AB，即PN=CN*AB/CB=(3-x)*4/3，P点的纵坐标为4-(3-x)*4/3=4x/3，
P点的横坐标为3-x，所以点P的坐标是（3-x，4x/3）
（2）M的坐标为（x，0），AM=3-x，S△MPA=0.5*(3-x)*4x/3=(-2/3)(x-3/2)^2+3/2，所以当x=3/2时，△MPA面积的最大值为3/2；
（3）△MPA是一个等腰三角形：当AM=AP时，有(3-x)^2=x^2+(4x/3)^2，解得x=9/8(x=-9/2舍去);
当PM=PA时，有x^2+(4x/3)^2=(3-2x)^2+(4x/3)^2，解得x=1(x=3舍去)；当AM=PM时，有
(3-x)^2=(3-2x)^2+(4x/3)^2，解得x=18/11，
故综上所述，当x=9/8、x=1、x=18/11时，△MPA是一个等腰三角形。

Answer 2

⑴
易知P点的坐标为：
3-x,4x/3
⑵
设△MPA的面积为S，在△MPA中，MA
，MA边上的高为
，其中，
0≤x≤3。
。S的最大值为1.5
，此时
。
⑶
延长NP交x轴于Q，则有PQ⊥OA。
①
若MP＝MA，∵PQ⊥MA，∴MQ＝QA＝x。∴3x＝3，∴
。
②
若MP＝MA，则MQ＝3－2x，PQ＝
，PM＝MA＝3－x。在Rt△PMQ中，∵MP2＝MQ2＋PQ2，∴
，∴
。
③
若PA＝AM，∵PA＝
，AM＝3－x。∴
，∴
。
综上所述，当
，或
，或
时，△MPA是一个等腰三角形。