Question

已知S,A,B,C是球O表面上的点,SA垂直于平面ABC,AB垂直于BC,SA=AB=1,BC=根号2,则球O的表面积=?

http://zhidao.baidu.com/question/189656964.html

中说道

ABC中AC是球上一小圆o2的直径。AC=√3。
过球心作一圆平行于o2，令该圆为o1.
则有AS垂直于O1，且相较于一点D。
则AD=1/2、
则三角形OAD中OA＝1，即为球的半径。
面积S＝4×π×R×R＝4π

请问AD=1/2如何解出？

Answer 1

SA=1
AD=SA/2=1/2
(以球面上两点为端点的线段，被其过球心的垂面平分。这个类似于平面几何中的弦心距性质。)

追问

首先感谢您阅读完问题

其次我还是不理解“以球面上两点为端点的线段，被其过球心的垂面平分。”
在这题中具体指哪个线段？哪个垂面？抱歉打扰您了，谢谢。

另外 AD是不是就是平面ABC到平面圆O1的距离？

追答

其次我还是不理解“以球面上两点为端点的线段，被其过球心的垂面平分。”

在这题中具体指哪个线段？哪个垂面？抱歉打扰您了，谢谢。

答：这题中具体指线段SA（以球面上两点为端点的线段），垂面指圆O1面（线段SA过球心的垂面），SA⊥圆O1面（下证之）

SA⊥圆O2面（也就是面ABC，因为圆O2就是三角形ABC的外接圆）

圆O2面∥圆O1面（由解题作图可知）

SA⊥圆O1面（解题作图时标注垂足是D——“AS垂直于O1，且相相交于一点D”）

于是由SA=1有

AD=SA/2=1/2

另外 AD是不是就是平面ABC到平面圆O1的距离？

答：是。

注：由“AB垂直于BC,AB=1,BC=根号2”可知直角三角形ABC的斜边上的中点就是三角形ABC的外心O2，也就是圆O2的圆心。在三角形O1O2A（这个三角形往往是解题关键）中，O1O2⊥AO2，AO2=AC/2=√3/2，O1O2=AD（O1O2AD是矩形——都是直角）=1/2

于是O1A=1，你引用的解法中，O1点其实就是O点，A在球面上，也就是说球半径已经求出为1，球面积就很简单了为4π。

下面给你上个图吧，反正闲着也是闲着，呵呵。