Question

已知梯形ABCD，AD//BC,AB⊥BC,AD=1,AB=2,BC=3

如图，P为AB边上的一点，以PD、PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ、DC的长能否相等？为什么

Answer 1

考查对角线PQ、DC的长能否相等，即平行四边形PCQD是否能为矩形问题转化为角DPC能否为直角。
设AP长x，BP长2-x,0＜x＜2
PD^2=1+x^2 PC^2=(2-x)^2+9
若能构成则有 PD^2+PC^2=CD^2, 即2x^2-4x+14=8，x无解，所以不能

Answer 2

PQ,DC不会相等。
由题意和矩形性质可知要使PQ=DC,则需PCQD为矩形，即PD⊥PC, 根据直角三角形性质，
DC^2=PD^2+PC^2
DC^2=(3-1)^2+2^2=8
设PA=x,则PB=2-X
PD^2=AD^2+AP^2=1+x^2
PC^2=(2-x)^2+BC^2=4-4x+x^2+9,由等式DC^2=PD^2+PC^2
得到二次方程：
2x^2-4x+14=8
整理得：
x^2-2x+3=0
判别式=4-12=-8小于0，此方程无解，假设不成立，所以PQ,DC不可能相等。

Answer 3

方法一：当PCQD为矩形时，对角线相等，即PD垂直于PC，
PD^2+PC^2=DC^2=(DC-AD)^2+AB^2=5
PD^2=AD^2+AP^2=1+AP^2, PC^2=BC^2+PB^2=BC^2+(AB-AP)^2=9+(2-AP)^2
1+AP^2+9+(2-AP)^2=5

2AP^2-4AP+9=0
2(AP-1)^2+7=0，此式无解，所以不可能相等。
方法二：DC可求得长为根号5，设PQ与DC的交点为E，
若两线相等，则PE=DE=1/2(根号5）＜2
E点到AB的最短距离为1/2(AD+BC)=2
所以不可能存在，即不可能相等。

Answer 4

应该不可以吧。P既然是AB边上的一点，除非P点到A、B点之外。如果在AB=AP+BP，那肯定是不行的。分析如下：
如果CD=PQ的话，那么平行四边形DPCQ就是菱形。那么DP=PC
已知：DP<根号5 AD=1、AP接近AB=2 所以DP平方最多是5
CP>根号9 BC=3、BP接近0 所以CP平方最少是9
所以DP肯定不等于PC
所以肯定不是菱形。