Question

已知a,b,c满足a^2+b^2=2005/3-c^2,求(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2的最大值

已知a、b、c满足a^2+b^2=2005/3-c^2,求(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2的最大值

Answer 1

a^2+b^2=2005/3-c^2， 则a^2+b^2+c^2=2005/3
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=3（a^2+b^2+c^2）-（a+b+c）^2；
当a+b+c=0时，取得最大值2005。

Answer 2

解:已知a、b、c为实数，a^2+b^2+c^2=2005/3
设y=（a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2
则
y=（a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2
=2*(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ac)
=4010/3-2(ab+bc+ac)
=4010/3-2(ab+bc+ac)
分析：要y有最大值，则（ab+bc+ac）必须是负数，而且a、b、c中，必有一个为0
设c=0，a>0,b<0，则ab<0,问题变为求|ab|的最大值
a^2+b^2=2005/3
2ab≤a^2+b^2
2|ab|的最大值=a^2+b^2=2005/3
可知a=-b时，即a=√（2005/6），b=-√（2005/6），c=0时
y有最大值=4010/3+2005/3=6015/3=2005

追问

不对吧，我算的怎么是4010/3呢？麻烦再看一下。

追答

像这种题，一般都会是个好写的数，而且你不想想为什么他就给了2005/3呢？

Answer 3

∵a^2+b^2=(2005/3)-c^2,
∴a²+b²+c²=2005/3
（a-b)²+(b-c)²+(c-a)²
=a²+b²-2ab+b²+c^2-2bc+c²+a²-2ac
=4010/3-2ab-2ac-2bc
分析当abc>0,即a>0,b>0,c>0不是最大值
abc<0时，且a,b,c的绝对值相等时，取得最大值
最大值=8*2005/9=16040/9

追问

不能其中两个是0吗？

追答

最大值=8*2005/9=160040/9

追问

不能其中两个是0吗？比如说a=0、b=0，那不就是4010/3了吗？4010/3＞160040/9

追答

要取最大值，就一个都不能等于零，a b c等于负数，值还要大。