Question

证明：数列（1+1/n）^n 是增数列，并且有上界

Answer 1

此题要用到二项式定理。证明：设an=(1+1/n)^n
。an=1+n·1/n+n(n-1)/2!·(1/n??)+n(n-1)(n-2)/3!·(1/n??)+...+n(n-1)···(n-k+1)/k!·(1/n^k)+...+n(n-1)···(n-n+1)/n!·(1/n^n)=1+1+1/2!·(1-1/n)+1/3!·(1-1/n)(1-2/n)+...+1/k!·(1-1/n)(1-2/n)···[1-(k-1)/n]+...+1/n!·(1-1/n)(1-2/n)···[1-(n-1)/n]a(n+1)=[1+1/(n+1)]^(n+1)=1+1+1/2!·[1-1/(n+1)]+1/3!·[1-1/(n+1)]·[1-2/(n+1)]+...+1/k!·[1-1/(n+1)]·[1-2/(n+1)]···[1-(k-1)/(n+1)]+...+1/n!·[1-1/(n+1)]·[1-2/(n+1)]···[1-(n-1)/(n+1)]+1/(n+1)!·[1-1/(n+1)]·[1-2/(n+1)]···[1-n/(n+1)]由于1-1/n<1-1/(n+1)，1-2/n<1-2/(n+1)，...，1-(n-1)/n<1-(n-1)/(n+1)，比较an和a(n+1)可知，an的展开式从第三项起的每一项都小于a(n+1)展开式中的相应项，而且a(n+1)的展开式还多了最后一项，且最后一项是正值，所以an<a(n+1)，数列是增数列；an<1+1+1/2!+1/3!+...+1/n!<1+1+1/(1×2)+1/(2×3)+...+1/[(n-1)n]=1+1+1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-1)-1/n=1+1+1-1/n<3所以数列有上界3
如果进一步研究计算，可得此数列的极限为e≈2.718281828459045...

Answer 2

设x(n)=[1+(1/n)]^n
利用二项式展开有
x(n)=1+[n*(1/n)]+[n(n-1)/(n^2*2!)]+
[n(n-1)(n-2)/(n^3*3!)]+……
+[n(n-1)(n-2)……*3*2*1/(n^n*n!)]
整理得x(n)=1+1+{[1-(1/n)]/2!}+{[1-(1/n)][1-(2/n)]/3!}
+……+{[1-(1/n)][1-(2/n)]……[1-(n-1/n)]}/n!
所以
x(n+1)=1+1+{[(1-1/n+1)]/2!}+
{[1-(1/n+1)][1-(2/n+2)]/3!}+……
+{[1-(1/n+1)][1-(2/n+1)]……[1-(n-1/n+1)]}/n!+
{[(1-1/n+1)][(1-2/n+1)]……[(1-n/n+1)]/(n+1)!}
[1-(1/n)]<[1-(1/n+1)]
[1-(2/n)]<[1-(2/n+1)]
……
[1-(n-1/n)]<[1-(n-1/n+1)]
所以x(n)中的每一项都小于x(n+1)的对应项，且x(n+1)多出来的最后一项大于零。
所以x(n)
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