Question

已知f(x)=-x三次方+ax在（0，1）上是增函数，求实数a的取值范围

Answer 1

1、设0＜x1＜x2＜1

∴f（x1）-f（x2）

=-x1³+ax1+x2³-ax2

=(x2-x1)(x2²+x1x2+x1²)-a（x2-x1）

=（x2-x1)(x2²+x1x2+x1²-a)

∵0＜x1＜x2＜1，∴x2-x1＞0

∴为使f（x）为单调递增，即f（x1）-f（x2）＜0

则必有：x2²+x1x2+x1²-a＜0恒成立

∴a＞x2²+x1x2+x1²

∵0＜x1＜x2＜1

∴0＜x1²＜x2²＜1，0＜x1x2＜1

∴0＜x2²+x1x2+x1²＜3

为使a＞x2²+x1x2+x1²恒成立，则a≥3
（比x2²+x1x2+x1²的最大值还要大）

2、f(2-a)+f(4-a²)<0,

即f(2-a)＜-f(4-a²)

∵-f(4-a²)=f（a²-4）

∴f(2-a)＜f(a²-4)

∵f（x）在(-1,1)上是递增函数

∴-1＜2-a＜1
①

-1＜a²-4＜1
②

2-a＜a²-4，即a²+a-6＞0
即(a+3)(a-2)＞0
③

由①得：1＜a＜3

由②得：√3＜a＜√5或-√5＜a＜-√3

由③得：a＞2或a＜-3

∴2＜a＜√5

Answer 2

a>=3
解析：因为f(x)=-x^3+ax在(0，1)上是增函数，所以f’(x)=-3x^2+a>=0在定义域上恒成立。解得a>=3