Question

当a为何值时，贝塔可由a1,a2,a3向量组唯一线性表示，并写出表示式子

Answer 1

解:
问题即线性方程组
(a1,a2,a3)x=β
解的存在性.
(a1,a2,a3,β)
=
1
1
-1
1
2
a+2
-b-2
3
0
-3a
a+2b
-3
r2-2r1
1
1
-1
1
0
a
-b
1
0
-3a
a+2b
-3
r3+3r2
1
1
-1
1
0
a
-b
1
0
0
a-b
0
当a≠0且a≠b时,
β可由a1,a2,a3唯一线性表示
当a=0时
(a1,a2,a3,β)-->
1
1
-1
1
0
0
-b
1
0
0
-b
0
r3-r2
1
1
-1
1
0
0
-b
1
0
0
0
-1
此时方程组无解,
故β不能由a1,a2,a3线性表示.
当a=b≠0时
(a1,a2,a3,β)-->
1
1
-1
1
0
a
-a
1
0
0
0
0
r2*(1/a),r1-r2
1
0
0
1-1/a
0
1
-1
1/a
0
0
0
0
此时β可由a1,a2,a3线性表示，但是表示不唯一
一般表示:
β=(1-1/a)a1+(k+1/a)a2+ka3.

Answer 2

唯一表示，则向量a1,a2,a3组成的矩阵可逆
即
1
1
1
a
2a-1
1
1
2
1
->
1
1
1
a
2a-1
1
0
1
0
->
1
0
1
a
0
1
0
1
0
->
1
0
1
a-1
0
0
0
1
0
则a-1不为0
即a不为1