Question

线性代数一题

设α，β. 为矩阵A的属于不同特征值λ，μ的特征向量，求证：当时一定不是的特征向量
. 设ab不等于0时aα+bβ一定不是A的特征向量

Answer 1

反证法：
因为α，β. 为矩阵A的属于不同特征值λ，μ的特征向量，所以Aα=λα，Aβ=μβ。

假设aα+bβ是A的特征向量，则存在数k，满足A(aα+bβ)=k(aα+bβ),打开整理aAα+bAβ=kaα+bkβ，所以aλα+bμβ=kaα+bkβ，移项合并a（λ-k）α+b（μ-k）β=0，因为α，β. 为矩阵A的属于不同特征值λ，μ的特征向量，所以α，β线性无关，所以a（λ-k）=0，b（μ-k）=0。因为ab不等于0，所以λ-k=0，μ-k=0，所以λ=μ=k，与λ，μ不相等矛盾，所以假设不成立，即aα+bβ不是A的特征向量。

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