Question

设函数f(x)在x=0处可导且 limx→0{[f(x)+1]/[x+sinx]}=2 则f(x)导数在x=0的值是？？

Answer 1

由于分母极限为0，则分子极限必为0，因此lim(x--->0)
[f(x)+1]=0，则lim(x--->0)
f(x)=-1。
由f(x)在x=0可导，则f(x)在x=1连续，因此函数值与极限值相等
f(0)=-1
lim
[x--->0]
[f(x)+1]/(x+sinx)
=lim
[x--->0]
[f(x)-f(0)]/(x+sinx)
=lim
[x--->0]
[(f(x)-f(0))/x]*[x/(x+sinx)]
=lim
[x--->0]
[(f(x)-f(0))/x]
*
lim
[x--->0]
[x/(x+sinx)]
前一项为导数定义，后一项用洛必达法则
=f
'(0)*(1/2)
=2
因此
f
'(0)=4