设函数f(x)在x=0处可导且 limx→0{[f(x)+1]/[x+sinx]}=2 则f(x)导数在x=0的值是??
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由于分母极限为0,则分子极限必为0,因此lim(x--->0)
[f(x)+1]=0,则lim(x--->0)
f(x)=-1。
由f(x)在x=0可导,则f(x)在x=1连续,因此函数值与极限值相等
f(0)=-1
lim
[x--->0]
[f(x)+1]/(x+sinx)
=lim
[x--->0]
[f(x)-f(0)]/(x+sinx)
=lim
[x--->0]
[(f(x)-f(0))/x]*[x/(x+sinx)]
=lim
[x--->0]
[(f(x)-f(0))/x]
*
lim
[x--->0]
[x/(x+sinx)]
前一项为导数定义,后一项用洛必达法则
=f
'(0)*(1/2)
=2
因此
f
'(0)=4
[f(x)+1]=0,则lim(x--->0)
f(x)=-1。
由f(x)在x=0可导,则f(x)在x=1连续,因此函数值与极限值相等
f(0)=-1
lim
[x--->0]
[f(x)+1]/(x+sinx)
=lim
[x--->0]
[f(x)-f(0)]/(x+sinx)
=lim
[x--->0]
[(f(x)-f(0))/x]*[x/(x+sinx)]
=lim
[x--->0]
[(f(x)-f(0))/x]
*
lim
[x--->0]
[x/(x+sinx)]
前一项为导数定义,后一项用洛必达法则
=f
'(0)*(1/2)
=2
因此
f
'(0)=4
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