Question

在各项均为正数的数列an中，数列的前n项和Sn满足Sn=1/2（an+1/an)

Answer 1

Sn=1/2(an+1/an)
S(n-1)=Sn-an=1/2(1/an-an)
Sn+S(n-1)=1/an
Sn-S(n-1)=an
Sn^2-S(n-1)^2=1
S1=a1=1/2(a1+1/a1),a1=1
{Sn^2}是首项为S1^2=1,公差为1的等差数列
Sn^2=n
Sn=√n
an=Sn-S(n-1)=√n-√(n-1)

直接求通项式了。

Answer 2

1.A1=1
A2=√2-1
A3=√3-√2
2.数学归纳法
因为
An=Sn-S[n+1]代入Sn=1/2（an+1/an)
Sn=1/2×{Sn-S[n+1]+1/(Sn-S[n+1])}
所以2Sn=Sn-S[n+1]+1/(Sn-S[n+1])
==>2Sn(Sn-S[n+1])=(Sn-S[n+1)^2+1
==>2Sn^2-2SnS[n+1]=Sn^2-SnS[n+1]+S[n+1]^2+1
==>S[n+1]^2-Sn^2=1
猜测Sn^2=n
(i)当n=1时
S1^2=A1^2=1
满足条件
(2)假设当n=k时
也成立
则S[k+1]^2-Sk^2=1==>S[k+1]^2=Sk^2+1=k+1
所以当n=k+1时
也成立
所以Sn^2=n
==>Sn=√n
因为An=Sn-S[n+1]=√n-√(n-1)

题目又没说一定要假设An=√n-√(n-1)来证明
因为Sn-S[n+1]=An是公理（公理是不用证明的)
转移到比较容易用数学归纳法证明的Sn