Question

1的平方+2的平方+3的平方+...+n的平方=？

Answer 1

1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
证:（利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1）：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
..............................
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加，得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得：
1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
a^2+b^2=a(a+b)-b(a-b)

Answer 2

楼上为正解。推导过程：
（数学归纳法）
1的平方+2的平方
=
1*（1+1）*（2*1+1)/6
=
5
假设
1的平方+2的平方+3的平方+……+n的平方
=
n(n+1)(2n+1)/6
那么
1的平方+2的平方+3的平方+……+n的平方+(n+1)的平方
=
n(n+1)(2n+1)/6
+
(n+1)*(n+1)
=(n+1)/6
*
(n(2n+1)+6(n+1))
=
(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)/6
因此，假设成立。完成。