Question

椭圆与中点弦的问题，椭圆不知，弦方程以及弦中点已知，求椭圆方程。

Answer 1

先推导一个有关椭圆中点弦的一般性结论：
设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1
弦的两端点为(x1,y1),(x2,y2),（x1≠x2）
∴有x1^2/a^2+y1^2/b^2=1
x2^2/a^2+y2^2/b^2=1
两式相减得：
（x1+x2)(x1-x2)/a^2+(y1+y2)(y1-y2)/b^2=0
∵p（x0，y0）为中点,∴x1+x2=2x0,y1+y2=2y0
∴2x0(x1-x2)/a^2+2y0(y1-y2)/b^2=0
∴x0/a^2+（y0/b^2）×k=0（其中k=(y1-y2)/
(x1-x2)为中点弦所在直线的斜率）
∴k=(-b^2x0)/(a^2y0)
……这是个重要结论，要记住。
对于本题来说，k=1,x0=-2,y0=1.
代入上式有：1=
2b^2/a^2
a^2=
2b^2,又因b^2=
a^2-c^2,
所以a^2=2
a^2-2c^2,
a^2=2
c^2,
c/a=√2/2.
即离心率是√2/2.
选B.

Answer 2

设次弦于椭圆交于两不同点a(x1,y1)b(x2,y2)，又ab中点为(2,1)
则有x1+x2=2*2=4,y1+y2=1*2=2
两点代入3xx+2yy=18
则满足3x1x1+2y1y1=18,3x2x2+2y2y2=18
相式相减得3(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0
当弦不垂直x轴时：(y1-y2)/(x1-x2)=-3(x1+x2)/[2(y1+y2)]=(-3)*4/(2*2)=-3则弦所在直线斜率为又过
直线方程：3x+y-7=0