Question

高一数学 函数 求步骤

1.已知二次函数f（x）满足f(x+1)+f(x-1)=2x²-4,求解析是.
2.设 x1.x2是关于x的一元二次方程 x²-2（m-1)x+m+1=0的两个实根,又y=x1²+x2²,求y=f(m)的解析式于与定义域
3. 定义在非零实数集上的函数f(X)满足f(Xy)=f(x)+f(y),且函数式区间（0，正无穷）上的增函数。1.求f(1).f(-1)的值 2.求证f(-x)=f(x)3.解不等式f（2）+f【x-1/2】小于等于0

Answer 1

1.解：设f（x）=ax2+bx+c，
∴f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）+c，f（x-1）=a（x-1）2+b（x-1）+c，
∴f（x+1）+f（x-1）=2ax2+2bx+2a+2c，
∵f（x+1）+f（x-1）=2x2-4x，
∴2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x，
∴a=1，b=-2，c=-1，
则f（x）=x2-2x-1．
故答案为：f（x）=x2-2x-1．
2.用韦达定理来算
X1+X2=-b/a X1*X2=c/a
所以 y=X1²+X2²=（X1+X2）²-2X1*X2=4（m-1）²-2（m+1）=4m²-10m+2
所以f（m)=4m²-10m+2
要考虑存在两根x1、x2。所以定义域m小于等于0或m大于等于3。可以相等的
3.解：(1)令x=y=1，
带入函数式子f(xy)=f(x)+f(y)
得f(1)=f(1)+f(1)，
解得f(1)=0；
令x=y=-1，
带入函数式子f(xy)=f(x)+f(y)
得f(1)=f(-1)+f(-1)，
解得f(-1)=0.
(2)证明偶函数：
令y=-1，
带入f(xy)=f(x)+f(y)
得f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x)，
即f(-x)=f(x).
(3)解不等式f(2)+f(x-1/2)≤0
因为f(x)是区间(0，＋∞)的增函数，且f(-x)=f(x)符合偶函数关于y轴对称
f(2)+f(x-½)=f[2*(x-1/2)]=f(2x-1)≤0=f(1) (第一问解出来f(1)=0了，用f(-1)=0也行答案都一样)
所以：|2x-1|<=| 1 | （要是-1绝对值也是1答案一样）
所以0<=x<=1 为不等式x取值范围。

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Answer 2

1、设f(x)=ax^2+bx+c
f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)^2+b(x+1)+c+a(x-1)^2+b(x-1)+c
=2ax^2+2bx+2a+2c
=2x^2-4
所以a=1 b=0 c=-3
所以f(x)=x^2-3
2、△=4(m-1)^2-4(m+1)=4m^2-12m>=0
m(m-3)>=0
m<=0或m>=3
根据韦达定理 x1+x2=2(m-1) x1x2=m+1
所以y=x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=4(m-1)^2-2(m+1)=4m^2-10m+2
所以f(m)=4m^2-10m+2 (m<=0或m>=3)
3、(1) 令x=1 y=1 f(1)=f(1)+f(1) f(1)=0
令x=-1 y=-1 f(1)=f(-1)+f(-1)=0 f(-1)=0
(2) 令y=-1 f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x)
(3) f(2)+f(x-1/2)<=0
f(1)-f(1/2)+f(x-1/2)<=0
f(1/2)>=f(x-1/2)
因为f(x)是偶函数，且在x>0上是增函数
所以f(x)在x<0上是减函数
①当x-1/2>0时，1/2>=x-1/2 x<=1
1/2<x<=1
②当x-1/2<0时，x-1/2>=-1/2 x>=0
0<=x<1/2
所以0<=x<1/2或1/2<x<=1