Question

代数式的恒等变形

(1).已知x²+y²+z²-2x+4y-6z+14=0,求（x-y-z)＾2010
(2)设m、n满足m²n²+m²+n²+10mn+16=0,求m+n的值
（3）已知14（a²+b²+c²)=(a+2b+3c)² 求证a:b:c=1:2:3
(4)已知实数x、y、z满足x+y=5 z²=xy+y-9,求x+2y+3z

Answer 1

1) 原式左边 = x² - 2x +1 +y²+4y +4 + z²-6z +9 = (x-1)² + (y+2)² + (z-3)² = 0
于是 x=1 y=-2 z=3, x-y-z = 0
（x-y-z)＾2010 = 0

2) 原式左边 = m²n²+m²+n²+2mn +8mn+16 = m²n²+8mn+16 + m²+n²+2mn
= (mn+4)² + (m+n)² = 0
于是 mn=-4, m+n=0
3) 14（a²+b²+c²)=(a+2b+3c)²
14a² + 14b² + 14c² = a² +4b² +9c² +4ab + 6ac + 12bc
右边移到左边得到
13a² + 10b² + 5c² -4ab -6ac -12bc = 0
配方:
(4a² -4ab +b²) + (9a²-6ac+c²) + (9b² -12bc+4c²) = 0
(2a-b)² + (3a-c)² + (3b-2c)²= 0
于是 2a-b=0 3a-c=0 3b-2c=0 解得 b=2a c=3a 于是 a:b:c=1:2:3
4) x+y=5 (1)
z²=xy+y-9 (2)
(1)式得到 x=5-y 代入(2)式
z² = (5-y)y+y-9
z² =5y-y²+y-9 右边移到左边 合并得到
y²-6y+9 +z² = 0
(y-3)²+z²= 0
于是 y=3,z=0 x=5-y=2 则x+2y+3z = 8

Answer 2

1、 x²+y²+z²-2x+4y-6z+14=0
x²-2x+1+y²+4y+4+z²-6z+9=0
(x-1)²+(y+2)²+(z-3)²=0
所以x=1，y=-2，z=3
x-y-z=0
（x-y-z)＾2010=0

2、m²n²+m²+n²+10mn+16=0
m²+n²+2mn+m²n²+8mn+16=0
(m+n)²+(mn+4)²=0
m+n=0，mn=-4

3、14（a²+b²+c²)=(a+2b+3c)²
14（a²+b²+c²)=a²+4b²+9c²+4ab+6ac+12bc
13a²+10b²+5c²-4ab-6ac-12bc=0
4a²-4ab+b²+9a²-6ac+c²+9b²-12bc+4c²=0
(2a-b)²+(3a-c)²+(3b-2c)²=0
所以：2a=b，3a=c，3b=2c
所以：a：b：c=1：2：3

4、x+y=5，则x=5-y
代入z²=xy+y-9
z²=(5-y)y+y-9
z²=6y-y²-9
z²= -(y-3)²
所以z=0，y=3
则x=5-y=2
所以x+2y+3z=2+6=8

Answer 3

∵x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，
∴x2-2x+1+y2+4y+4+z2-6z+9=0，
（x-1）2+（y+2）2+（z-3）2=0，
∴x-1=0，y+2=0，z-3=0，
解得x=1，y=-2，z=3，
∴（x-y-z）2010=0．

∵m2n2+m2+n2+10mn+16=0，
∴（m2n2+8mn+16）+（m2+2mn+n2）=0，
∴（mn+4）2+（m+n）2=0，
又∵（mn+4）2≥0，（m+n）2≥0，
∴（mn+4）2=0，（m+n）2=0，
即
mn+4=0,m+n=0

14(a^2+b^2+c^2)=（a+2b+3c）^2
14a^2+14b^2+14c^2=a^2+4b^2+9c^2+4ab+6ac+12bc
13a^2+10b^2+5c^2-4ab-6ac-12bc=0
4a^2-4ab+b^2+9b^2-12bc+4c^2+9a^2-6ac+c^2=0
(2a-b)^2+(3b-2c)^2+(3a-c)^2=0,即
2a-b=0
3b-2c=0
3a-c=0
所以a：b：c=a：2a：3a=1：2：3

首先转化一下：x=5-y
把x代入z²=xy＋y－9；得到z²=y（5-y）+y-9=5y-y²+y-9
变化一下得到：z²+（y-3)²=0;
要使平方数等于0 则z=0 ； y=3；因为x=5-y
所以x=2；所以x＋2y＋3z=8