Question

在三角形abc中,已知ac=bc角c=90度,ad是三角形abc的角平分线de垂直于ab垂足为e求：（1）如果cd=4，求ac

在三角形ABC中,已知AC=BC角C=90度,AD是三角形ABC的角平分线DE垂直于AB.垂足为E
（1）如果cCD=4，求AC的长.

（2）求证：AB=AC+CD.

Answer 1

解：1）如图，∵AC=BC，∠C=90度，∴三角形ABC为等腰直角三角形。∠C=45º。

又∵DE垂直于AB，∴三角形DBE也是等腰直角三角形，EB=ED。

∵AD平分∠ABC，DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，∴DC=DE=4，则DB=√2•DE=4√2

∴AC=BC=BD+DC=4+4√2。

 

2）由1）已证EB=ED=DC，又DA=DA，∴ΔADC≌ΔADE(HL)，∴AC=AE。

∴AB=AE+EB=AC+DC。

Answer 2

(1)由题有：三角形ABC为等腰直角三角形，又：AD为其角平分线，
所以：角CAD=22.5度。所以：AC=CD/tan22.5=CD/tanα。
又：tan^2(α/2)=(1－cosα)/(1+cosα)=(1-cosπ/4)/(1+cosπ/4)
=3-2√2
所以：AC=4/[√（3-2√2）]
(2)由题可知：三角形ACD与三角形ADE全等。
所以：CD=DE，AE=AC
又在三角形BDE中，角EDB=角EBD=45度。
所以：DE=BE
所以：AB=AE+BE=AC+CD