Question

线性代数 向量组B能有向量组A线性表示，则R(B)<=R(A)

AX=B

按照定理条件知 R(A)=R(A,B)

而 R(B)<=R(A,B)

R(B)<=R(A)

最后这两行不理解，求解释！！

Answer 1

R(B)≤R(A,B)这个是矩阵秩的性质，书上的定理。用秩的定义理解一下就很明显了，因为B的子式都是(A,B)的子式。
最后这一行R(B)≤R(A)，就是上面两行结论的推导：R(B)≤R(A,B)=R(A)

追问

这个 R(B)=R(A,B)我能理解，。可这个＜ 怎么回事啊？

能解释下吗。或举个 ＜的 例子

追答

首先，(A,B)的子式的阶可能比B的子式的阶高，比如A是3×3矩阵，B是3×2矩阵，B只有1阶2阶子式，但(A,B)有3阶子式，所以(A,B)的阶有可能是3，但B的阶不可能超过2。
其次，即使(A,B)与B的子式的最高阶一样，那么B的最高阶子式可能是0，但(A,B)的最高阶子式可以包含A的元素，这样就有可能非零，所以(A,B)的秩又有可能大于B的秩。比如A是
10
01
00
矩阵B是
01
00
00
那么B的秩是1，(A,B)的秩是2。