Question

高中数学排列组合中的隔板法是什么？求讲解

Answer 1

隔板法就是在n个元素间插入（b-1）个板，即把n个元素分成b组的方法。
编辑本段允许若干个人（或位置）为空的问题例1将20个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，有多少种不同的方法？
分析：本题中的小球大小形状完全相同，故这些小球没有区别，问题等价于将小球分成三组，允许有若干组无元素，用隔板法.
解析：将20个小球分成三组需要两块隔板，因为允许有盒子为空，不符合隔板法的原理，那就人为的再加上3个小球，保证每个盒子都至少分到一个小球，那就符合隔板法的要求了。然后就变成待分小球总数为23个，球中间有22个空档，需要在这22个空档里加入2个隔板来分隔为3份，共有C（22，2）=231种不同的方法.
点评：对n件相同物品（或名额）分给m个人（或位置），允许若干个人（或位置）为空的问题,可以看成将这n件物品分成m组，允许若干组为空的问题.将n件物品分成m组，需要m-1块隔板，将这n件物品和m-1块隔板排成一排，占n+m-1位置，从这n+m-1个位置中选m-1个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有Cn+m-1 m-1种不同的方法，再将物品放入其余位置，因物品相同无差别，故物品之间无顺序，是组合问题，只有1种放法，根据分步计数原理，共有Cn+m-1 m-1×1=Cn+m-1 m-1种排法,因m-1块隔板将n件相同物品分成m块，从左到右可以看成每人所得的物品数，每一种隔板与物品的排法对应于一种分法，故有Cn+m-1 m-1种分法.
编辑本段水果分篮问题例2：有广西橘子，烟台苹果，莱阳梨若干，从中随意取出四个，问共有多少种不同取法？
问题等价于有四个水果篮，将其分为三组向里面加入不同水果，且允许篮子为空
分为三组需要2个隔板，将水果篮与隔板并排 ，隔板共有4+2个放置位置，故有C（4+2），2个选择，
即15种。[1]
编辑本段每人（或位置）必须有物品问题例3将20个优秀学生名额分给18个班，每班至少1个名额，有多少种不同的分配方法？
分析：本题是名额分配问题，用隔板法.
解析：将20个名额分配给18个班，每班至少1个名额，相当于将20个相同的小球分成18组，每组至少1个，将20个相同的小球分成18组，需要17块隔板，先将20个小球排成一排，因小球相同，故小球之间无顺序，是排列，只有1种排法，再在20个小球之间的19个空档中，选取17个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有C19 17种不同的放法，根据分步计数原理，共有C19 17种不同的方法，因17块隔板将20个小球分成18组，从左到右可以看成每班所得的名额数，每一种隔板与小球的排法对应于一种分法，故有Cm-1 m-1种分法.
点评：对n件相同物品（或名额）分给m个人（或位置），每个人（或位置）必须有物品问题,可以看成将这n件物品分成m组，每组不空的问题.将n件物品分成m组，需要m-1块隔板，将这n件物品排成一排，因物品无差别，故物品之间无顺序，是组合问题，只有1种排法，再在这n件物品之间的n-1空档中选取m-1个位置放隔板，占n+m-1位置，从这n+m-1个位置中选m-1个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有Cn-1 m-1种不同的放法，根据分步计数原理，共有1×Cn-1 m-1=Cn-1 m-1种不同排法,因m-1块隔板将n件相同物品分成m块，从左到右可以看成每人所得的物品数，每一种隔板与物品的排法对应于一种分法，故有Cn-1 m-1种分法.
对相同物品分配问题，注意某若干组能否为空，能为空和不能为不空，方法不同，要体会和掌握

追问

能不能简短一点？