Question

一次函数y=x+m的图像经过点A(1，0)，交y轴于点B

C为y轴负半轴上一点，且BC=2OB，过A、C两点（开口向上）的抛物线交直线AB于D，且CD//x轴.⑴求抛物线的解析式。⑵在这条抛物线上是否存在一点M，使得∠ADM为直角？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

y=x+m的图像经过点A(1，0)，0=1+m，同m=-1
一次函数 y=x-1，交 Y 轴于 (0,-1)
OB=1，OC=OB+BC=3OB=3，所以 C 点坐标为 (0,-3)
设抛物线方程 y=ax^2+bx+c (a>0)，则：
a+b+c=0 (过A点) ....(1)
0+0+c=-3 (过C点) ...(2)
c=-3, b=-c-a=3-a
所以 y=ax^2+(3-a)x-3
CD//x轴，设D点坐标(x0,-3)
D在直线 y=x-1 上，-3=x0-1，x0=-2
所以 D坐标为(-2,-3)
又 D 在抛物线上，-3=a(-2)^2+(3-a)(-2)-3
4a-6+2a=0，6a=6，a=1
所以抛物线方程为 y=x^2+2x-3

D 在直线 y=x-1 上，斜率=1
∠ADM为直角，则直线DM的斜率=-1
设DM的方程为 y=-x+d
直线经过D，则-3=-(-2)+d，d=-5
所以直线方程为 y=-x-5
所以 x^2+2x-3=-x-5
x^2+3x+2=0，(x+1)(x+2)=0，x=-1 或 x=-2
x=-2 为D点坐标，舍弃
x=-1，y=-(-1)-5=-4
所以 M点的坐标为 (-1,-4)
该点正好为抛物线的顶点

Answer 2

（1）把点A（1，0）代入y=x+m得m=-1
∴y=x-1，
∴点B坐标为（0，-1
∵BC=2OB，OB=1，
∴BC=2，
∴OC=3
∴C点坐标为（0，-3），
又CD∥x轴，
∴C、D关于对称轴对称，
∴点D的纵坐标为-3，
代入y=x-1得x=-2，
∴点D的坐标为（-2，-3），（
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
由题意得：
a+b+c=0
c=-34a-2
b+c=-3

解得a=1，b=2，c=-3，
∴y=x2+2x-3
（2）∵BC=CD=2，且CD∥x轴，
∴△BCD为等腰Rt△，∠BCD=90°
又抛物线顶点为E（-1，-4）且E到CD的距离EG=1
∴DG=GC=1，
∴EG=DG，
∴∠EDC=45°，
∴∠EDA=90°
∴存在点M（-1，-4），（即抛物线顶点E）使得∠ADM=90°．

Answer 3

由题A点代入解析式得y=x-1 得B（0，-1） 则C（0，1）或（0，-3）画出草图由CD//x轴得 C点只能是（0，1）D点纵坐标为1故代入直线得x=2 故由三点C（0，1）A（1，0）D（2，1）得解析式
y=(x-1)^2 (2)假设存在点M 则AD斜率*DM斜率=-1AD斜率=1 怎DM斜率必须为-1 由点斜式 得 DM解析式y=-x+3 问题就变成看y=-x+3与y=(x-1)^2有无交点的问题了 解方程得x^2-x-2=0 即x-1或2 得点M（-1，4）或M（2，1）[舍，该点为D点]故M点（-1，4）

Answer 4

解：（1）因为y=x+m过点（1,0）可得m=-1,则y=x-1
则当x=0时，y=-1则B(0,-1)
则OC=BC+OB=2OB+OB=3则C（0，-3）
又CD//x轴，则设D(a，-3）
把D带入y=x-1得D(-2,-3)
由A,C,D的坐标得抛物线的解析式为y=x2+2x-3
（2）若<ADM为直角，则直线DM垂直于AD，
设直线DM的解析式为y=-x+b，带入D点的坐标得y=-x-5.
又点M在抛物线上，则-x-5=x2+2x-3，得x=-1或-2，(-2舍去)
则存在点M使<ADM为直角，M为（-1，-4）