Question

已知函数f(x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k>0),若f(x)的单调递减区间是(0,4)

若x∈[-8，8]时，函数y=f（x）的图像与直线y=a无公共点，求实数a的取值范围

Answer 1

解:该题属于基本的函数最值问题。
对f(x)求导得:3kx^2-6(k+1)x=x[3kx-6(k+1)]<0，导数小于0，函数单调递减。
0和4是上式的两个根。解得:x=6(k+1)/3k=4 => k=1
所以 f(x)=x^3-6x^2，要使x∈[-8，8]时，函数y=f（x）的图像与直线y=a无公共点，首先应求出:
f(x)在[-8,8]上的值域。
根据导数得:f(x)在(负无穷,0)递增，(0,4)递减，(4,正无穷)递增。
知:f(x)在x=-8或x=4处取得最小值；在x=0或x=8处取得最大值。分别代入f(x)=x^3-6x^2得:
f(-8)= - 896 , f(4)= - 32 ， f(0)=0， f(8)=128
所以，在[-8,8]上，函数f(x)的值域是[-896,128]
要使y=a与之无公共点，则a<-896或a>128
综上所述:a的取值范围是(负的无穷大,-896)并上(128,正的无穷大)

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