Question

高等数学：分子是常数，分母是乘积的形式，怎么拆成几个式子想减？

Answer 1

分母是n个因子乘积的分子式必定可以分解成n个低阶的分子式,其中这n个式子的分母分别为这n个因子。
最通用的方法就是：待定系数法。
即：由于分母已知，假设分解后分子分别为a1、a2、a3,……,an（有时也可以是含有未知数的多项式），然后统分还原成一个式子，分子中合并同类项，再与原式比较，则分子必与原式的分子相等。
如：1/[x(x-1)(x+1)]
可以先肯定的是，可分解成3个式子，分别设为：a/x、b/(x-1)、c/(x+1)
1/[x(x-1)(x+1)]=a/x+b/(x-1)+c/(x+1)
=[(a+b+c)x^2+(b-c)x-a]/[x(x-1)(x+1)]
对比分子可得：
a+b+c=0
b-c=0
-a=1
故a=-1,b=c=0.5
所以原式为：
1/[x(x-1)(x+1)]=1/[2(x-1)]+1/[2(x+1)]-1/x
假如熟练后，有些简单的式子可以一眼看出来.
如:1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)
1/6=1/2-1/3
1/56=1/7-1/8
…………

Answer 2

这个叫做裂项，数列里用来求和的，不定积分里也有用到。
方法大概就事把分母的几个因式作为分母写出几个简单分母的分式，然后再进行系数搭配，凑不了的可以用待定系数法。