Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC= PA，点O, D分别是AC, PC的中点，OP⊥底面ABC。

（1）求证：OD∥平面PAB；
（2）求直线OD与平面PBC所成角的正弦值。

Answer 1

1、取BC中点M，连结DM，OM，
则DM是△CPB的中位线，
∴DM//PB，
同理，OM是△CAB的中位线，
∴OM//AB，
∵DM∩OM=M，
AB∩PB=B，
∴平面ODM//平面PAB，
∵OD∈平面ODM，
∴OD//平面PAB。
2、∵<ABC=90°，
∴△ABC是RT△，
∵O是AC的中点，
∴OA=OB=OC，
∵OP⊥平面ABC，
∴PA=PB=PC，（若射影相等，则对应斜线也相等），
设AB=BC=1，
PA=1，
AC=√2，
△PAC和△ABC均是等腰RT△，
PO=AC/2=√2/2，
∵OD是△CAD的中位线，
∴OD//AP，
∴AP和平面PBC所成角相等，
VP-ABC=（AB*BC/2）*PO/3=（1/2）*（√2/2）/3=√2/12，
设A至平面PBC距离为d,
∵△PBC是正△，
∴S△PBC=√3/4，
VA-PBC=d*（√3/4）/3=√3d/12,
√3d/12=√2/12,
∴d=√6/3，
设OD和平面PBC所成角为θ，
∴sinθ=d/AD=√6/3。