Question

在△ABC中，AB=2倍根号5，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，

求线段DC的长.初中2年级几何，勾股定理解题

Answer 1

解：

∵AC=4，BC=2，AB=2倍根号5，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°．
分三种情况：
如图（1），过点D作DE⊥CB，垂足为点E．
∵DE⊥CB（已知） 
∴∠BED=∠ACB=90°（垂直的定义），
∴∠CAB+∠CBA=90°（直角三角形两锐角互余），
∵△ABD为等腰直角三角形（已知），
∴AB=BD，∠ABD=90°（等腰直角三角形的定义），
∴∠CBA+∠DBE=90°（平角的定义），
∴∠CAB=∠EBD（同角的余角相等），
在△ACB与△BED中，
∵∠ACB=∠BED，∠CAB=∠EBD，AB=BD（已证），
∴△ACB≌△BED（AAS），
∴BE=AC=4，DE=CB=2（全等三角形对应边相等），
∴CE=6（等量代换）

根据勾股定理得：CD=2倍根号10；

如图（2），过点D作DE⊥CA，垂足为点E．
∵BC⊥CA（已知） 
∴∠AED=∠ACB=90°（垂直的定义） 
∴∠EAD+∠EDA=90°（直角三角形两锐角互余）
∵△ABD为等腰直角三角形（已知） 
∴AB=AD，∠BAD=90°（等腰直角三角形的定义）
∴∠CAB+∠DAE=90°（平角的定义）
∴∠BAC=∠ADE（同角的余角相等）
在△ACB与△DEA中，
∵∠ACB=∠DEA（已证）∠CAB=∠EDA（已证） AB=DA（已证）
∴△ACB≌△DEA（AAS） 
∴DE=AC=4，AE=BC=2（全等三角形对应边相等） 
∴CE=6（等量代换）
根据勾股定理得：CD=2倍根号13；

如图（3），过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F．
∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵∠DAB+∠DBA=90°，
∴∠EBD+∠DAF=90°，
∵∠EBD+∠BDE=90°，∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠DBE=∠ADF，
∵∠BED=∠AFD=90°，DB=AD，
∴△AFD≌△DEB，易求CD=3倍根号2．

追问

不明白为什么∴△AFD≌△DEB，就能求出CD=3倍根号2。详解

Answer 2

用圆规做出AB中点E,以E点为圆心、AE为半径画圆；
把该圆与AB垂直平分线相交点D和A、B连线,即等腰直角△ABD

Answer 3

请完善题目，三角形ABD是哪个角为90度！

追问

你太面了，告诉你哪个是90度角，不就告诉你答案了吗！！！

Answer 4

建立一个坐标系，在坐标系中画出来，最简单。